Що таке матеріальна точка? Які фізичні величини пов'язані з нею, для чого взагалі вводиться поняття матеріальної точки? У цій статті ми поміркуємо про ці питання, наведемо приклади завдань, які пов'язані з обговорюваних поняттям, а також поговоримо про формулах, які застосовуються для їх вирішення.

визначення

Отже, що ж таке матеріальна точка? Різні джерела дають визначення в кілька різному літературному стилі. Те ж саме стосується і викладачів у вузах, коледжах та загальноосвітніх закладах. Однак, згідно зі стандартом, матеріальною точкою називається тіло, розмірами якого (в порівнянні з розмірами системи відліку) можна знехтувати.

Зв'язок з реальними об'єктами

Здавалося б, як можна прийняти за матеріальну точку людини, велосипедиста, автомобіль, корабель і навіть літак, про які в більшості випадків йдеться в задачах з фізики, коли мова заходить про механіку тіла, що рухається? Давайте дивитися глибше! Для визначення координати рухомого тіла в будь-який момент часу необхідно знати кілька параметрів. Це і початкова координата, і швидкість руху, і прискорення (якщо воно, звичайно ж, має місце), і час.

Що необхідно для вирішення завдань з матеріальними точками?

Координатну зв'язок можна знайти, тільки прив'язавшись до системи координат. Ось такою своєрідною системою координат для автомобіля та іншого тіла стає наша планета. А в порівнянні з її величиною розмірами тіла дійсно можна знехтувати. Відповідно, якщо тіло ми приймаємо за матеріальну точку, її координату в двомірному (тривимірному) просторі можна і потрібно знаходити як координату геометричній точки.

Рух матеріальної точки. завдання

Залежно від складності, завдання можуть набувати певних умови. Відповідно, відштовхуючись від даних нам умов, можна використовувати певні формули. Іноді, навіть маючи весь арсенал формул, вирішити задачу, що називається, "в лоб" все одно не представляється можливим. Тому вкрай важливо не просто знати формули кінематики, що мають відношення до матеріальної точці, а й вміти їх використовувати. Тобто висловлювати потрібну величину, а системи рівнянь прирівнювати. Ось основні формули, які ми будемо застосовувати в ході вирішення завдань:

Завдання № 1

Автомобіль, що стоїть на стартовій межі, різко починає рух з нерухомого положення. Дізнатися, за який час він розженеться до 20 метрів в секунду, якщо його прискорення становить 2 метри на секунду в квадраті.

Відразу хочеться сказати, що це завдання - практично найпростіше, що може очікувати учня. Слово "практично" коштує тут не просто так. Вся справа в тому, що простіше може бути тільки підставити прямі значення в формули. Нам же слід спочатку висловити час, а потім провести розрахунки. Для вирішення завдання знадобиться формула визначення миттєвої швидкості (миттєва швидкість - це швидкість тіла в певний момент часу). Вона має такий вигляд:

Як ми бачимо, в лівій частині рівняння у нас стоїть миттєва швидкість. Вона нам там абсолютно не потрібна. Тому робимо прості математичні дії: твір прискорення на час залишаємо в правій частині, а початкову швидкість переносимо вліво. При цьому слід уважно стежити за знаками, оскільки один неправильно залишений знак може в корені змінити відповідь до задачі. Далі трохи ускладнюємо вираз, позбавляючись від прискорення в правій частині: ділимо на нього. У підсумку справа у нас повинно залишитися чистий час, зліва - дворівневе вираз. Все це справа просто міняємо місцями, щоб виглядало звичніше. Залишається тільки підставити величини. Отже, виходить, що автомобіль розженеться за 10 секунд. Важливо: ми вирішили задачу, припускаючи, що в автомобіль в ній - матеріальна точка.

Завдання № 2

Матеріальна точка починає екстрене гальмування. Визначити, якою була початкова швидкість в момент екстреного гальмування, якщо до повної зупинки тіла пройшло 15 секунд. Прискорення прийняти рівним 2 метрам на секунду в квадраті.

Завдання, в принципі, досить схожа на попередню. Але тут є пара своїх нюансів. По-перше, нам потрібно визначити швидкість, яку ми зазвичай називаємо початкової. Тобто в певний момент починається відлік часу і відстані, пройденого тілом. Швидкість при цьому дійсно буде підпадати під це визначення. Другий нюанс - знак прискорення. Нагадаємо, що прискорення - це величина векторна. Отже, в залежності від напрямку вона буде змінювати свій знак. Позитивне прискорення спостерігається в тому випадку, якщо напрямок швидкості тіла збігається з її оприлюдненням. Простіше кажучи, коли тіло прискорюється. В іншому випадку (тобто в нашій ситуації з гальмуванням) прискорення буде негативним. І ці два фактори потрібно враховувати, щоб вирішити це завдання:

Як і минулого разу, спочатку висловимо необхідну нам величину. Щоб уникнути метушні зі знаками, початкову швидкість залишимо там, де вона є. З протилежним знаком переносимо в іншу частину рівняння твір прискорення на час. Так як гальмування було повним, кінцева швидкість становить 0 метрів в секунду. Підставляючи ці та інші значення, легко знаходимо початкову швидкість. Вона буде дорівнює 30 метрам в секунду. Легко помітити, що, знаючи формули, справлятися з найпростішими завданнями не так вже й складно.

Завдання № 3

У певний момент часу диспетчери починають стеження за переміщенням повітряного об'єкта. Його швидкість в цей момент дорівнює 180 кілометрам на годину. Через проміжок часу, рівний 10 секундам, його швидкість збільшується до 360 кілометрів на годину. Визначте відстань, пройдену літаком за час перельоту, якщо час польоту склало 2 години.

Насправді в широкому розумінні дана задача має безліч нюансів. Наприклад, розгін повітряного судна. Зрозуміло, що по прямолінійній траєкторії наше тіло рухатися б не могло в принципі. Тобто йому потрібно злетіти, набрати швидкість, а потім вже на певній висоті якийсь відрізок відстані рухатися прямолінійно. У розрахунок не беруться відхилення, а також уповільнення літака при посадці. Але це не наша справа в даному випадку. Тому ми будемо вирішувати завдання в рамках шкільних знань, загальних відомостей про кінематичному русі. Щоб вирішити задачу, нам знадобиться наступна формула:

Але ось тут нас очікує заковика, про яку ми говорили раніше. Знати формули недостатньо - їх потрібно вміти використовувати. Тобто виводити одну величину за допомогою альтернативних формул, знаходити її і підставляти. При перегляді початкових відомостей, які є в завданні, відразу стає зрозуміло, що вирішити її просто так не вийде. Про прискорення нічого не сказано, зате є інформація про те, як змінилася швидкість за певний проміжок часу. Значить, прискорення ми можемо знайти самостійно. Беремо формулу знаходження миттєвої швидкості. Вона має вигляд

Прискорення і час залишаємо в одній частині, а початкову швидкість переносимо в іншу. Потім діленням обох частин на час звільняємо праву частину. Тут відразу ж можна підрахувати прискорення, підставивши прямі дані. Але набагато доцільніше висловлювати і далі. Отриману для прискорення формулу підставляємо в основну. Там можна трохи скоротити змінні: в чисельнику час дано в квадраті, а в знаменнику - в першого ступеня. Тому від цього знаменника можна позбутися. Ну а далі - проста підстановка, оскільки більше висловлювати нічого не треба. Відповідь має вийти наступного: 440 кілометрів. Відповідь буде іншим, якщо переводити величини в іншу розмірність.

висновок

Отже, що ж ми з'ясували в ході цієї статті?

1) Матеріальна точка - це тіло, розмірами якого в порівнянні з розмірами системи відліку можна знехтувати.

2) Для вирішення завдань, пов'язаних з матеріальною точкою, є кілька формул (наведені в статті).

3) Знак прискорення в цих формулах залежить від параметра руху тіла (прискорення або гальмування).

ВСТУП

Дидактичний матеріал призначений студентам усіх спеціальностей заочного факультету ГУЦМіЗ, які вивчають курс механіки за програмою для інженерно-технічних спеціальностей.

Дидактичний матеріал містить короткий виклад теорії по темі, що вивчається, адаптованої до рівня навченості студентів-заочників, приклади розв'язання типових задач, питання і завдання, аналогічні запропонованим студентам на іспитах, довідковий матеріал.

Мета такого матеріалу - допомогти студента-заочника самостійно в стислі терміни засвоїти кінематичне опис поступального і обертального рухів, використовуючи метод аналогії; навчитися вирішувати чисельні і якісні завдання, розбиратися в питаннях, пов'язаних з розмірністю фізичних величин.

Особлива увага приділяється вирішенню якісних задач, як одного з прийомів більш глибокого і свідомого засвоєння основ фізики, необхідних при вивченні спеціальних дисциплін. Вони допомагають зрозуміти сенс що відбуваються явищ природи, усвідомити сутність фізичних законів і уточнити область їх застосування.

Дидактичний матеріал може бути корисний студентам денної форми навчання.

КІНЕМАТИКА

Частина фізики, що вивчає механічний рух, називають механікою . Під механічним рухом розуміють зміну з часом взаємного розташування тіл або їх частин.

кінематика - перший розділ механіки, вона вивчає закони руху тіл, не цікавлячись причинами, що викликають цей рух.

1. Матеріальна точка. Система відліку. Траєкторія.

Шлях. вектор переміщення

Найпростіша модель кінематики - матеріальна точка . Це тіло, розмірами якого в даній задачі можна знехтувати. Будь-яке тіло можна уявити як сукупність матеріальних точок.

Щоб математично описати рух тіла, необхідно визначитися з системою відліку. Система відліку (СО) складається з тіла відлікуі пов'язаних з ним системи координаті годин. Якщо в умові завдання немає спеціальних вказівок, вважається, що система координат пов'язана з поверхнею Землі. В якості системи координат найчастіше використовується декартовасистема.

Нехай потрібно описати рух матеріальної точки в декартовій системі координат ХУZ(Рис.1). В деякий момент часу t 1 точка знаходиться в положенні А. Положення точки в просторі можна характеризувати радіусом - вектором r 1, проведеним з початку координат в положення А, І координатами x 1 , y 1 , z 1. Тут і далі векторні величини позначені жирним курсивом. До моменту часу t 2 = t 1 + Δ tматеріальна точка переміститься в положення Вз радіус вектором r 2 і координатами x 2 , y 2 , z 2 .

траєкторією руху називається крива в просторі, по якій рухається тіло. По виду траєкторії розрізняють прямолінійний, криволінійний рухи і рух по колу.

довжина шляху (або шлях ) - довжина ділянки АВ, Виміряна по траєкторії руху, позначається через Δs (або s). Шлях в міжнародній системі одиниць (СІ) вимірюється в метрах (м).

вектор переміщення матеріальної точки Δ r являє собою різницю векторів r 2 і r 1, тобто

Δ r = r 2 - r 1.

Модуль цього вектора, званий переміщенням, є найкоротшим відстанню між положеннями Аі В(Початковим і кінцевим) рухається точки. Очевидно, що Δs ≥ Δ r, Причому рівність виконується при прямолінійній русі.

При русі матеріальної точки значення пройденого шляху, радіуса-вектора і його координат змінюється з часом. Кінематичними рівняннями руху (надалі рівняннями руху) Називають їх залежності від часу, тобто рівняння виду

s= S ( t), r = r (t), x=х(t), y=у(t), z=z (t).

Якщо для рухомого тіла відомо таке рівняння, то в будь-який момент часу можна знайти швидкість його руху, прискорення і т.д., в чому далі переконаємося.

Будь-який рух тіла можна уявити як сукупність поступальногоі обертальногорухів.

2. Кінематика поступального руху

поступальним називають такий рух, при якому будь-яка пряма, жорстко пов'язана з рухомим тілом, залишається паралельною самій собі .

швидкість характеризує швидкість руху і напрямок руху.

середньою швидкістю руху в інтервалі часу Δ t називається величина

(1)

де - s відрізок шляху, пройдений тілом за час за час  t.

миттєвою швидкістю руху (Швидкість в даний момент часу) називають величину, модуль якої визначається першої похідної від шляху за часом

(2)

Швидкість - векторна величина. Вектор миттєвої швидкості завжди спрямований по дотичнійдо траєкторії руху (рис.2). Одиниця виміру швидкості - м / с.

Значення швидкості залежить від вибору системи відліку. Якщо людина сидить у вагоні поїзда, він разом з поїздом рухається щодо СО, пов'язаної із землею, але спочиває щодо СО, пов'язаної з вагоном. Якщо людина ходить по вагону зі швидкістю , то його швидкість щодо СО «земля»  з залежить від напрямку руху. Уздовж руху поїзда  з =  поїзда + , проти   з =  поїзда - .

Проекції вектора швидкості на осі координат υ х , Υ у ,υ zвизначаються як перші похідні від відповідних координат за часом (рис. 2):

Якщо відомі проекції швидкості на осі координат, модуль швидкості можна визначити за теоремою Піфагора:

(3)

рівномірним називають рух з постійною швидкістю (υ = const). Якщо при цьому не змінюється напрямок вектора швидкості v, То рух буде рівномірним прямолінійним.

прискорення - фізична величина, що характеризує швидкість зміни швидкості за величиною і напрямком середнє прискорення визначається як

(4)

де Δυ - зміна швидкості за відрізок часу Δ t.

вектор миттєвого прискорення визначається як похідна від вектора швидкості vпо часу:

(5)

Оскільки при криволінійному русі швидкість може змінюватися як за величиною, так і за напрямком, прийнято розкладати вектор прискорення на дві взаємно перпендикулярніскладові

а = а τ + а n. (6)

Тангенціальне (Або дотичне) прискорення а τ характеризує швидкість зміни швидкості за величиною, його модуль

.(7)

Тангенціальне прискорення направлено по дотичній до траєкторії руху по швидкості при прискореному русі і проти швидкості при уповільненому русі (рис. 3) ..

нормальне (Доцентрове) прискорення а n характеризує зміну швидкості у напрямку, його модуль

(8)

де R- радіус кривизни траєкторії.

Вектор нормального прискорення спрямований до центру кола, яку можна провести у ставленні до даної точці траєкторії; він завжди перпендикулярний вектору тангенціального прискорення (рис.3).

Модуль повного прискорення визначається по теоремі Піфагора

. (9)

Напрямок вектора повного прискорення а визначається векторної сумою векторів нормального і тангенціального прискорень (рис.3)

равнопеременное називають рух з постійнимприскоренням . Якщо прискорення позитивно, то це рівноприскореного руху , Якщо ж воно негативно - равнозамедленно .

При прямолінійному русі аם = 0 і а = аτ. якщо аם = 0 і аτ = 0, тіло рухається прямолінійно і рівномірно; при аם = 0 і аτ = const рух прямолінійний равнопеременное.

при рівномірному русіпройдений шлях обчислюється за формулою:

d s= d t→ s= ∫d t= ∫d t=  t+ s 0 , (10)

де s 0 - початковий шлях для t = 0. Останню формулу необхідно запам'ятати.

графічні залежності υ (t) і s(t) Наведені на рис.4.

для равнопеременное руху  = ∫ а d t = а∫ d t, звідси

= аt +  0, (11)

де  0 - початкова швидкість при t=0.

Пройдений шлях s= ∫d t = ∫(аt +  0) d t. Вирішуючи це інтеграл, одержимо

s = аt 2/2 +  0 t + s 0 , (12)

де s 0 - початковий шлях (для t= 0). Формули (11), (12) рекомендуємо запам'ятати.

графічні залежності а(t), υ (t) і s(t) Наведені на рис.5.

До равнопеременное руху з прискоренням вільного падіння g= 9,81 м / с 2 відноситься вільний рухтел у вертикальній площині: вниз тіла падають з g> 0, при русі вгору прискорення g<0. Швидкість руху і пройдений шлях при цьому змінюється відповідно до (11):

 =  0 + gt; (13)

h = gt 2/2 +  0 t +h 0 . (14)

Розглянемо рух тіла, кинутого під кутом до горизонту (м'яч, камінь, гарматний снаряд, ...). Це складний рух складається з двох простих: по горизонталі уздовж осі ОХі вертикалі уздовж осі ОУ(Рис.6). По горизонтальній осі за відсутності опору середовища рух рівномірний; по вертикальній осі - равнопеременное: равнозамедленно до максимальної точки підйому і равноускоренное після неї. Траєкторія руху має вигляд параболи. Нехай  0 - початкова швидкість тіла, кинутого під кутом α до горизонту з точки А(початок координат). Її складові за обраними осях:

 0x =  x =  0 cos α = const; (15)

 0у =  0 sinα. (16)

Відповідно до формули (13) маємо для нашого прикладу в будь-якій точці траєкторії до точки З

 у =  0у - g t=  0 sinα. - g t ;

 х =  0х =  0 cos α = const.

У найвищій точці траєкторії, точці З, Вертикальна складова швидкості  у = 0. Звідси можна знайти час руху до точки С:

 у =  0у - g t=  0 sinα. - g t = 0 → t =  0 sinα / g. (17)

Знаючи цей час, можна визначити максимальну висоту підйому тіла по (14):

h max =  0у t- gt 2/2 =  0 sinα  0 sinα / g– g( 0 sinα /g) 2/2 = ( 0 sinα) 2 / (2 g) (18)

Оскільки траєкторія руху симетрична, то повний час руху до кінцевої точки Водно

t 1 =2 t= 2 0 sinα / g. (19)

Дальність польоту АВз урахуванням (15) і (19) визначиться так:

АВ=  х t 1 =  0 cosα 2 0 sinα / g= 2 0 2 cosα sinα / g. (20)

Повний прискорення рухомого тіла в будь-якій точці траєкторії дорівнює прискоренню вільного падіння g; його можна розкласти на нормальне і тангенціальне, як було показано на рис.3.

Поняття матеріальної точки. Траєкторія. Шлях і переміщення. Система відліку. Швидкість і прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення. Класифікація механічних рухів.

предмет механіки . Механікою називають розділ фізики, присвячений вивченню закономірностей найпростішої форми руху матерії - механічного руху.

механіка складається з трьох підрозділів: кінематики, динаміки і статики.

кінематика вивчає рух тіл без урахування причин, його викликають. Вона оперує такими величинами як переміщення, пройдений шлях, час, швидкість руху і прискорення.

динаміка досліджує закони і причини, що викликають рух тіл, тобто вивчає рух матеріальних тіл під дією прикладених до них сил. До кинематическим величинам додаються величини - сила і маса.

Встатиці досліджують умови рівноваги системи тел.

механічним рухом тіла називається зміна його положення в просторі відносно інших тіл з плином часу.

Матеріальна точка - тіло, розмірами і формою якого можна знехтувати в даних умовах руху, вважаючи масу тіла зосередженої в даній точці. Модель матеріальної точки - найпростіша модель руху тіла у фізиці. Тіло можна вважати матеріальною точкою, коли його розміри багато менше характерних відстаней в завданні.

Для опису механічного руху необхідно вказати тіло, щодо якого розглядається рух. Довільно вбрання нерухоме тіло, по відношенню до якого розглядається рух даного тіла, називається тілом відліку .

Система відліку - тіло відліку разом з пов'язаними з ним системою координат і годинами.

Розглянемо рух матеріальної точки М в прямокутній системі координат, помістивши початок координат в точку О.

Положення точки М відносно системи відліку можна задати не тільки за допомогою трьох декартових координат, але також за допомогою однієї векторної величини - радіуса-вектора точки М, проведеного в цю точку з початку системи координат (рис. 1.1). Якщо - одиничні вектори (орти) осей прямокутної декартової системи координат, то

або залежність від часу радіус-вектора цієї точки

Три скалярних рівняння (1.2) або еквівалентну їм одне векторне рівняння (1.3) називаються кінематичними рівняннями руху матеріальної точки .

траєкторією матеріальної точки називається лінія, описувана просторі цією точкою при її русі (геометричне місце кінців радіуса-вектора частинки). Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рухи точки. Якщо всі ділянки траєкторії точки лежать в одній площині, то рух точки називають плоским.

Рівняння (1.2) і (1.3) задають траєкторію точки в так званій параметричної формі. Роль параметра відіграє час t. Вирішуючи ці рівняння разом і виключаючи з них час t, знайдемо рівняння траєкторії.

довжиною шляху матеріальної точки називають суму довжин усіх ділянок траєкторії, пройдених точкою за розглянутий проміжок часу.

вектором переміщення матеріальної точки називається вектор, що сполучає початкове і кінцеве положення матеріальної точки, тобто приріст радіуса-вектора точки за розглянутий проміжок часу

При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з відповідною ділянкою траєкторії. З того, що переміщення є вектором, слід підтверджувати на досвіді закон незалежності рухів: якщо матеріальна точка бере участь в декількох рухах, то результуюче переміщення точки одно векторної сумі її переміщень, здійснюваних нею за той же час в кожному з рухів порізно

Для характеристики руху матеріальної точки вводять векторну фізичну величину - швидкість , Величину, визначальну як швидкість руху, так і напрямок руху в даний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії МN так, що в момент часу t вона знаходиться в Т.М, а в момент часу в т. N. Радіус-вектори точок М і N відповідно рівні, а довжина дуги МN дорівнює (рис. 1.3 ).

Вектором середньої швидкості точки в інтервалі часу від tдо t+Δ tназивають відношення приросту радіуса-вектора точки за цей проміжок часу до його величини:

Вектор середньої швидкості спрямований також, як вектор переміщення тобто уздовж хорди МN.

Миттєва швидкість або швидкість в даний момент часу . Якщо у виразі (1.5) перейти до межі, спрямовуючи до нуля, то ми отримаємо вираз для вектора швидкості м.т. в момент часу t проходження її через Т.М траєкторії.

У процесі зменшення величини точка N наближається до Т.М, і хорда МN, повертаючись навколо Т.М, в межі збігається за напрямком з дотичній до траєкторії в точці М. Тому векторі швидкістьvрухається точки спрямовані по дотичній траєкторії в сторону руху.Вектор швидкості v матеріальної точки можна розкласти на три складові, спрямовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат.

З зіставлення виразів (1.7) і (1.8) випливає, що проекції швидкості матеріальної точки на осі прямокутної декартової системи координат рівні першим похідним за часом від відповідних координат точки:

Рух, при якому напрямок швидкості матеріальної точки не змінюється, називається прямолінійним. Якщо числове значення миттєвої швидкості точки залишається під час руху незмінним, то такий рух називається рівномірним.

Якщо ж за довільні рівні проміжки часу точка проходить шляху різної довжини, то чисельне значення її миттєвої швидкості з плином часу змінюється. Такий рух називають нерівномірним.

У цьому випадку часто користуються скалярною величиною, званої середньої шляхової швидкістю нерівномірного руху на даній ділянці траєкторії. Вона дорівнює чисельному значенню швидкості такого рівномірного руху, при якому на проходження шляху витрачається той же час, що і при заданому нерівномірному русі:

Оскільки тільки в разі прямолінійного руху з незмінною у напрямку швидкістю, то в загальному випадку:

Величину пройденого точкою шляху можна представити графічно площею фігури обмеженої кривою v = f (t), прямими t = t 1 і t = t 1 і віссю часу на графіку швидкості.

Закон додавання швидкостей . Якщо матеріальна точка одночасно бере участь в декількох рухах, то результуюче переміщення відповідно до закону незалежності руху, так само векторної (геометричній) сумі елементарних переміщень, зумовлених кожним з цих рухів окремо:

Відповідно до визначення (1.6):

Таким чином, швидкість результуючого руху дорівнює геометричній сумі швидкостей всіх рухів, в яких бере участь матеріальна точка, (це положення носить назву закону складання швидкостей).

При русі точки миттєва швидкість може змінюватися як за величиною, так і за напрямком. прискорення характеризує швидкість зміни модуля і напрямку вектора швидкості, тобто зміна величини вектора швидкості за одиницю часу.

Вектор середнього прискорення . Відношення приросту швидкості до проміжку часу, протягом якого відбулося це збільшення, висловлює середнє прискорення:

Вектор, середнього прискорення збігається за напрямком з вектором.

Прискорення, або миттєве прискорення одно межі середнього прискорення при прагненні проміжку часу до нуля:

У проекціях на відповідні координати осі:

При прямолінійному русі вектори швидкості і прискорення збігаються з напрямом траєкторії. Розглянемо рух матеріальної точки по криволінійній плоскою траєкторії. Вектор швидкості в будь-якій точці траєкторії спрямований по дотичній до неї. Припустимо, що в Т.М траєкторії швидкість була, а в Т.М 1 стала. При цьому вважаємо, що проміжок часу при переході точки на шляху з М в М 1 настільки малий, що зміною прискорення за величиною і напрямком можна знехтувати. Для того, щоб знайти вектор зміни швидкості, необхідно визначити векторну різницю:

Для цього перенесемо паралельно самому собі, поєднуючи його початок з точкою М. Різниця двох векторів дорівнює вектору, що з'єднує їх кінці дорівнює стороні АС МАС, побудованого на векторах швидкостей, як на сторонах. Розкладемо вектор на дві складові АВ і АТ, і обидві відповідно через і. Таким чином вектор зміни швидкості дорівнює векторній сумі двох векторів:

Таким чином, прискорення матеріальної точки можна уявити як векторну суму нормального та тангенціального прискорень цієї точки

За визначенням:

де - колійна швидкість уздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент. Вектор тангенціального прискорення спрямований по дотичній до траєкторії руху тіла.

Якщо використовувати для одиничного дотичного вектора позначення, то можна записати тангенціальне прискорення в векторному вигляді:

нормальне прискорення характеризує швидкість зміни швидкості у напрямку. Обчислимо вектор:

Для цього проведемо перпендикуляр через точки М і М1 до дотичним до траєкторії (рис. 1.4) Точку перетину позначимо через О. При досить малому ділянку криволінійної траєкторії можна вважати частиною окружності радіуса R. Трикутники МОМ1 і МВС подібні, тому, що є рівнобокими трикутниками з однаковими кутами при вершинах. Тому:

Але тоді:

Переходячи до межі при і враховуючи, що при цьому, знаходимо:

,

Так як при кут, напрям цього прискорення збігається з напрямком нормалі до швидкості, тобто вектор прискорення перпендикулярний. Тому це прискорення часто називають доцентровим.

нормальне прискорення(Доцентрове) направлено по нормалі до траєкторії до центру її кривизни O і характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості точки.

Повний прискорення визначається векторної сумою тангенціального нормального прискорень (1.15). Так як вектори цих прискорень взаємно, то модуль повного прискорення дорівнює:

Напрямок повного прискорення визначається кутом між векторами і:

Класифікація рухів.

Для класифікацій рухів скористаємося формулою для визначення повного прискорення

Припустимо, що

отже,
Це випадок рівномірного прямолінійного руху.

але

2)
отже

Це випадок рівномірного руху. В цьому випадку

при v 0 = 0 v t= At - швидкість рівноприскореного руху без початкової швидкості.

Криволінійний рух з постійною швидкістю.

МАТЕРІАЛЬНА ТОЧКА- модельне поняття (абстракція) класичної механіки, що позначає тіло зникаюче малих розмірів, але володіє деякою масою.

З одного боку, матеріальна точка - найпростіший об'єкт механіки, так як його положення в просторі визначається лише трьома числами. Наприклад, трьома декартовими координатами тієї точки простору, в якій знаходиться наша матеріальна точка.

З іншого боку, матеріальна точка - основний опорний об'єкт механіки, так як саме для неї сформульовані основні закони механіки. Всі інші об'єкти механіки - матеріальні тіла і середовища - можуть бути представлені у вигляді тієї чи іншої сукупності матеріальних точок. Наприклад, будь-яке тіло можна «розрізати» на малі частини і кожну з них прийняти в якості матеріальної точки з відповідною масою.

Коли можна «замінити» реальне тіло матеріальною точкою при постановці завдання про рух тіла, залежить від тих питань, на які має відповісти рішення формулюється завдання.

Можуть бути різні підходи до питання про використання моделі матеріальної точки.

Один з них носить емпіричний характер. Вважають, що модель матеріальної точки застосовна тоді, коли розміри рухомих тел нехтує малі в порівнянні з величиною відносних переміщень цих тіл. В якості ілюстрації можна навести Сонячну систему. Якщо вважати, що Сонце - нерухома матеріальна точка і вважати воно діє на іншу матеріальну точку-планету за законом всесвітнього тяжіння, то задача про рух точки-планети має відоме рішення. Серед можливих траєкторій руху точки є і такі, на яких виконуються закони Кеплера, емпірично встановлені для планет сонячної системи.

Таким чином, при описі орбітальних рухів планет модель матеріальної точки цілком задовільна. (Однак, побудова математичної моделі таких явищ як сонячні і місячні затемнення вимагає врахування реальних розмірів Сонця, Землі і Місяця, хоча ці явища, очевидно, пов'язані з орбітальними рухами.)

Відношення діаметра Сонця до діаметру орбіти найближчої планети - Меркурія - становить величину ~ 1 · 10 -2, а відносини діаметрів ближніх до Сонця планет до діаметрам їх орбіт - величини ~ 1 ÷ 2 · 10 -4. Чи можуть ці числа служити формальним критерієм для зневаги розмірами тіла в інших завданнях і, отже, для прийнятності моделі матеріальної точки? Практика показує, що немає.

Наприклад, маленька куля розміром l= 1 ÷ 2 см пролітає відстань L= 1 ÷ 2 км, тобто відношення, проте траєкторія польоту (та й дальність) істотно залежить не тільки від маси кулі, але і від її форми, і від того, чи обертається вона. Тому навіть маленьку кулю, строго кажучи, не можна вважати матеріальною точкою. Якщо в задачах зовнішньої балістики метаемое тіло часто вважають матеріальною точкою, то це супроводжується застереженнями ряду додаткових умов, як правило, емпірично враховують реальні характеристики тіла.

Якщо звернутися до космонавтики, то коли космічний апарат (КА) виведений на робочу орбіту, при подальших розрахунках траєкторії його польоту він вважається матеріальною точкою, так як ніякі зміни форми КА не роблять скільки-небудь помітного впливу на траєкторію. Лише іноді, при корекціях траєкторії виникає необхідність забезпечення точної орієнтації реактивних двигунів в просторі.

Коли ж спусковий відсік наблизиться до поверхні Землі на відстань ~ 100 км, він відразу «перетворюється» в тіло, оскільки від того, яким «боком» він входить в щільні шари атмосфери, залежить, доставить чи відсік в потрібну точку Землі космонавтів і повертаються матеріали .

Модель матеріальної точки виявилася практично неприйнятною для опису рухів таких фізичних об'єктів мікросвіту, як елементарні частинки, атомні ядра, електрон і т.п.

Інший підхід до питання про використання моделі матеріальної точки носить раціональний характер. Згідно із законом зміни кількості руху системи, застосованого до окремого тіла, центр мас С тіла має таке ж прискорення, як і деяка (назвемо її еквівалентної) матеріальна точка, на яку діють ті ж сили, що і на тіло, тобто

Взагалі кажучи, результуюча сила може бути представлена ​​у вигляді суми, де залежить тільки від і (радіус-вектор і швидкість точки С), а - і від кутової швидкості тіла і його орієнтації.

якщо F 2 = 0, то наведене вище співвідношення перетворюється в рівняння руху еквівалентної матеріальної точки.

У цьому випадку говорять, що рух центру мас тіла не залежить від обертального руху тіла. Таким чином, можливість використання моделі матеріальної точки отримує математичне суворе (а не тільки емпіричне) обгрунтування.

Природно, що на практиці умова F 2 = 0 виконується рідко і зазвичай F 2 № 0, проте може виявитися, що F 2 в якомусь сенсі мало в порівнянні з F 1. Тоді можна говорити, що модель еквівалентної матеріальної точки є деяким наближенням при описі руху тіла. Оцінка точності такого наближення може бути отримана математично і якщо ця оцінка виявиться прийнятною для «споживача», то заміна тіла на еквівалентну матеріальну точку допустима, в іншому випадку така заміна приведе до значних помилок.

Це може мати місце і тоді, коли тіло рухається поступально і з точки зору кінематики його можна «замінити» на деяку еквівалентну точку.

Природно, що модель матеріальної точки не придатна для відповіді на такі питання, як «чому Місяць звернена до Землі лише однією своєю стороною?» Подібні явища пов'язані з обертовим рухом тіла.

Віталій Самсонов

ПИТАННЯ

1. Чи володіє матеріальна точка масою? Чи має вона розміри?

під матеріальною точкоюу фізиці розуміється тіло, розмірами якого в умовах даної задачі можна знехтувати. Матеріальна точкаволодіє певною масою, але має нульові (дуже малі) розміри.

2. Матеріальна точка це реальний об'єкт або абстрактне поняття?

Матеріальна точка- абстрактне поняття, тому що в природі все тіла володіють певними розмірами.

3. З якою метою використовується поняття "матеріальна точка"?

поняття матеріальної точкивикористовується для спрощення умов і рішень задач. Якщо знехтувати розмірами реального тіла, то немає необхідності розглядати рух тіла при його русі навколо своєї осі (м'яч в польоті) або рух якихось частин тіла (колеса автомобіля), якщо нас цікавить з якою швидкістю рухається тіло.

4. У яких випадках рух тіло зазвичай розглядають як матеріальну точку?

В даному випадку рух тіло можна розглядати як матеріальну точку, якщо його розміри набагато менше відстані на яке воно переміщається.

5. Наведіть приклад, який показує, що одне і те ж тіло в одній ситуації можна вважати матеріальною точкою, а в іншій-ні.

Якщо розглядати, наприклад, рух автомобіля, при його переміщенні з міста А в місто Б, то в даному випадку, при визначенні середньої швидкості руху автомобіля його можна розглядати як матеріальну точку, однак якщо нас цікавить рух автомобіля більш детально, то виявиться, що при русі автомобіля, наприклад передні і задні колеса через нерівності дороги рухаються по різному (несинхронно).

6. При якому русі тіла його можна розглядати як матеріальну точку навіть в тому випадку, якщо прохідні їм відстані можна порівняти з його розмірами?

Якщо тіло рухається поступально.

7. Що називається матеріальною точкою?

Матеріальна точка- це абстрактне поняття позначає тіло, розміри якого не грають ролі в умовах даної задачі.

8. У якому випадку положення рухомого тіла можна задати за допомогою однієї координатної осі?

Якщо тіло рухається прямолінійно.

9. Що таке система відліку?

Система отсчёта- це тіло відліку, пов'язана з ним система координат і прилад для вимірювання часу, по відношенню до яких розглядається рух матеріальних точок або тіл.

ВПРАВИ

2. Літак робить переліт з Москви до Владивостока. Чи може розглядати літак як матеріальну точку диспетчер, який спостерігає за його рухом? пасажир цього літака?

З точки зору диспетчера, якщо розглядати тільки маршрут літака, то можна, але якщо в повітрі знаходяться інші літаки або він заходить на посадку - немає. З точки зору пасажира, при польоті по маршруту- так, але при переміщенні пасажира всередині літака - немає.

3. Коли говорять про швидкість машини, потяги і інших транспортних засобів, тіло відліку звичайно не вказують. Що мають на увазі в цьому випадку під тілом відліку?

Під тілом відліку, в даному випадку, зазвичай мають на увазі поверхню Землі.

4. Хлопчик стояв на землі і спостерігав, як його молодша сестра каталася на каруселі. Після катання дівчинка сказала братові, що і він сам, і вдома, і дерева швидко проносилися повз неї. Хлопчик же став стверджувати, що він разом з будинками і деревами, був нерухомий, а рухалася сестра. Щодо якихось тел відліку розглядали рух дівчинка і хлопчик? Поясніть хто правий у суперечці.

Обидва мають рацію. Хлопчик вибрав систему відліку щодо себе (він був нерухомий), а дівчинка щодо себе (вона була на гойдалках).

5. Щодо якого тіла відліку розглядають рух, коли говорять:
а) швидкість вітру дорівнює 5 м / с?
б) колода пливе за течією річки, тому його швидкість дорівнює нулю;
в) швидкість пливе по річці дерева дорівнює швидкості течії води в річці;
г) будь-яка точка колеса рухається велосипеда описує коло;
д) Сонце вранці сходить на сході, протягом дня рухається по небу, а ввечері заходить на заході?

а) щодо поверхні Землі; б) щодо поточної води; в) щодо поверхні Землі; г) щодо центру (осі) колеса; д) щодо поверхні Землі.